شنبه 27 دی 1399 | Saturday 16 th of January 2021 صفحه اصلی گروه الکترونیکی کامپیوتر
1-2- منطق گزاره ای سه ارزشه

یکی از راه های موجود به منظور فرموله بندی یک گزاره این است که فرض کنیم، ارزش گزاره ها در مجموعه ای با 3 عضو Tз = {t, f, *}می باشد به طوریکه عضو *به یک عبارت با مفهوم نه Trueو نه Falseاشاره می کند. اگر به خاطر داشته باشیم بنا به محاسباتی که در دوران مدرسه اموختیم، برای یک سیستم سه ارزشه Tз))با عملگرهای ¬ (نقیض)، ν (اجتماع) وΛ (اشتراک)، که در حقیقت تعمیمی از همان سیستم دودویی کلاسیک می باشد، تعداد حالات مختلف و ممکن برابر با
   حالت می باشد. علاوه بر این اغلب این سیستم ها قابل انتقال بر روی کاغذ نمی باشد (به جهت عدم داشتن یک تفسیر مناسب برای *) لذا شاید برای نوشتن این حالات نیازمند هزاران برگ کاغذ باشیم. در این سیستم سعی شده است تا با تمرکز و تکیه بر روی یک سری محاسبات و قوانین بتوانیم به خلاصه سازی مناسبی دست پیدا کنیم. در انجام این محاسبات از 5 قانون استفاده شده است که الهام بخش و یاداور همان منطق کلاسیک (با عملوند tو fو عملگرهای νو Λ  و...) قدیم می باشد.

به منظور رسیدن به این هدف اولین گام، روشن کردن عملگرهای گزاره ای می باشد. لذا ابتدا عملکرد و رفتار دو عملگر ¬ و Λمشخص شده و بقیه عملگرها می توانند توسط این دو عملگر تعریف شوند. طبق قانون زیر:

(C1)   b νb́ = ¬(¬b Λb́), bb́ = ¬b νb́, b, b́ є

با این فرض که بتوانیم تمام عبارات گزاره ای را با استفاده از دو عملگر ¬ و Λتعریف نماییم، تعداد حالات ممکن ذکر شده از   به  حالت کاهش می یابد. بنابراین فقط سیستم هایی که به کمک دو جدول ناقص زیر تعیین می شوند را در نظر می گیریم. (عملکرد عملگرها در حالتی عملوند ها ارزش *داشته باشند مشخص نشده است).

همانطور که در جدول فوق می بینیم شرط صریح بودن [1](قانون C1) بسیار محدودکننده می باشد و بسیاری از محاسبات مهم را بی پاسخ می گذارد. در ادامه به دو سیستم Lukasiewicz[L20] و Heyting [H30]می پردازیم که به عکس قبل برای بسیاری از این حالات پاسخی ارائه می کنند.

 جدول 1-5- سیستم سه ارزشه Heyting

در سیستم Lukasiewicz، *به هر ممکنی[2]تعبیر می شود و هدف از در نظرگرفتن این ارزش این است که در اینده گزاره هایی وجود خواهند داشت که دارای این ارزش باشند. در حقیقت فقط گزاره ∗→∗، از قانون C1 پیروی نمی کند. متأسفانه سیستم Lukasiewiczدر این مورد چندان واضح عمل نمی کند اما با این حال او سیستم اش را به گونه ای طراحی کرده است که گزاره Ø→Ø   در ان به عنوان یک گزاره صحیح تلقی می شود. سیستم Heytingطوری طراحی شده است که در ان گزاره Ø→Ø ¬ ¬به عنوان یک گزاره از منطق شهودی نمی باشد و لذا او مجبور به طرح سیستمی شده است که نتایج تعریف شده قدیمی در ان رد شده اند.

دومین و سومین و چهارمین قانون به صورت زیر می باشند:

(C2)   ¬¬* = *

(C3)   * Λ* = *

(C4)   * Λt = * = t Λ*

این قوانین می توانند در کاهش تعداد محاسبات ممکن مؤثر باشند. در این قسمت از 9 سیستم موجود دیگر با عملکردی مشابه با جدول زیر برای دو عملگر ¬ و Λصرف نظر می کنیم (توجه شود که عملکرد عملگر Λدر جدول ناقص است).

قابل ذکر است که تاکنون نتوانسته ایم از سیستمی که که دو قانون C2و C3را تبعیت نمایند، شناخت پیدا کنیم. با این وجود Blnap[Bp70]، با ارائه یک سیستم سه ارزشه همراه با عملگرهای ¬ وνو Λتوانسته است قوانین C1تا C3را در انها به کار برد اما این سیستم بازهم از قانون C4تبعیت نمی کند.

جدول 1-6- سیستم سه ارزشه Blnap

جدول 1-6- سیستم سه ارزشه Blnap

در سیستم Blnap، *به عنوان یک عضو کم اهمیت[3]جلوه می کند، یک اجتماع و یا اشتراک تنها زمانی حاصل *به خود می گیرد که هر دو عملوند انها *باشد در بقیه حالات حاصل به دست امده مقداری برابر با همان مقادیر منطقی کلاسیک (t,f) دارند. برخلاف عقیده Blnapبه نظر می اید که چندان واضح نیست که ایا با

تفسیر و تعبیر موجود از *، سیستم می تواند ارتقاء داشته باشد.

      قوانین ذکر شده و قانون C5،

(C5)   * ΛftfΛ*

تعداد حالات ممکن محاسبات را به جداول زیر کاهش می دهد:

 

در 4 منطق باقیمانده،   *ممکن است به معنای تعریف نشده[4]یا ناقص[5]باشد که این معانی کاربرد زیادی دارند. این 4 منطق در جدول 1-7 نشان داده شده است.

جدول 1-7- منطق سه ارزشهS3، K3، M3و Md3

قابل ذکر است در منطق گزاره ای دو ارزشه[6]عملگرها منطقی اصلی (AND,OR,NOT)می توانند به صورت جدول 1-8 توصیف شوند:

جدول 1-8- توصیف عملگر های منطقی در منطق دو ارزشه

True if both operands are True,
False if either operand (or both) is False.

AND

True if either operand (or both) is True,
False if both operands are False.

OR

True if operand is False,
False if operand is True

NOT

 

نحو عبارات منطقی در منطق دو ارزشه در شکل 1-2 نشان داده شده است:

Sentence ®Atomic Sentence| Complex Sentence

Atomic Sentence ®True | False | Symbol

Symbol ®P | Q | R |…

Complex Sentence ®~Sentence

                                   | ( Sentence & Sentence )

                                   | ( Sentence | Sentence )

                                   | ( Sentence ÞSentence )

                                   | ( Sentence ÛSentence )

شکل1-2- نحو عبارات منطقی در منطق دو ارزشه

از انجا که منطق سه ارزشه Kleeneمورد استفاده ماست، برای منطق سه ارزشه Kleeneعملگرهای منطقی ، به صورت زیر انجام می شوند:

جدول 1-9- توصیف عملگرهای منطقی در منطق سه ارزشه Kleene

True if both operands are True,
False if either operand (or both) is False,
* otherwise (if one operand is * and the other is * or True).

AND

True if either operand (or both) is True,
False if both operands are False.
* otherwise (if one operand is * and the other is * or False).

OR

True if operand is False,
False if operand  is True,
* if operand is *.

NOT

True if operand  is *,
False if operand  is True or False

؟

نحو عبارات منطقی در منطق سه ارزشه به صورت زیر است:

Sentence ®Atomic Sentence| Complex Sentence

Atomic Sentence ®True | False | * | Symbol

Symbol ®P | Q | R |…

Complex Sentence ®~Sentence

                                   | ? Sentence

                                   | ( Sentence & Sentence )

                                   | ( Sentence | Sentence )

                                   | ( Sentence ÞSentence )

                                   | ( Sentence ÛSentence )

شکل 1-3- نحو عبارات منطقی در منطق سه ارزشه

تذکر: از این به بعد منظور از منطق سه ارزشه همان منطق گزاره ای سه ارزشه  Kleeneاست.

  


[1]Interdefinability

[2]Possible

[3]Unassertive

[4]Undefined

[5] Incompelet

[6]2- Valued Propositional Logic 

Compatability by:
آخرین به روز رسانی سایت: سه شنبه, 22 اسفند 1391 - 00:26